Page Title

51Характеристические функции.

До сих пор мы задавали случайные величины законом распределения. Характеристическая функция - ещё один способ представления случайных величин.

Пусть X - случайная величина. Её характеристической функцией w(t) назовём математическое ожидание случайной величины e^itX:

w(t)=Me^itX,

где под комплексной случайной величиной e^itX мы понимаем комплексное число e^{it X}=cos(tX)+isin(tX), а

;

независимая переменная t имеет размерность X^-¹.

Характеристическая функция - преобразование Фурье-Стилтьеса функции распределения:

В непрерывном случае w(t) - преобразование Фурье плотности вероятности:

Если w(t) абсолютно интегрируема, то обратное преобразование Фурье позволяет восстановить плотность f(x) по характеристической функции:

В дискретном случае:

Особо отметим дискретные случайные величины с целочисленными значениями, например, при x_k=k:

здесь w(t) - ряд Фурье в комплексной форме, вероятности p_k играют роль коэффициентов Фурье и легко восстанавливаются по w(t):

В общем случае восстановление закона распределения по характеристической функции тоже возможно, но более сложно.

Свойства характеристических функций

Важнейшим свойством характеристической функции, сделавшим её одним из главных инструментов современной теории вероятностей, оказалось то, что при суммировании независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются: если X и Y независимы, то для случайной величины Z=X+Y: w_Z(t)=w_X(t)×w_Y(t).

Действительно,

w_Z(t)=M(e^itZ)=M(e^it⁽^X⁺^Y⁾)=M(e^itX×e^itY)=M(e^itX)×M(e^itY)=w_X(t)×w_Y(t).

Законы распределения при суммировании независимых слагаемых ведут себя гораздо сложнее (см. Л12, закон распределения суммы случайных величин).

Если Y=aX+b, то

w_Y(t)=M(e^it⁽^aX⁺^b⁾)=e^itb×M(e^itaX)=e^itb×w_X(at).

Другим важным свойством характеристических функций является их простая связь с моментами.

Предполагая возможность дифференцирования под знаком математического ожидания в равенстве w(t)=Me^itX, получим:

w⁽^k⁾(t)=i^kM(X^k×e^itX).

При t=0:

Таким образом, характеристическая функция позволяет заменить интегрирование при вычислении моментов дифференцированием.

В частности,

Характеристическую функцию определяют также и для n-мерной случайной величины (X₁, X₂, , ¼ , X_n):

w(t₁, t₂, , ¼ , t_n)=M(expi(t₁X₁+t₂X₂+¼+t_nX_n)).