45Условные числовые характеристики систем случайных величин.
Пусть (Х, У) – 2-мерная СВ с известным законом распределения F(X,Y) или f(x,y). Условным математическим ожиданием компоненты Х называется математическое ожидание СВ Х, вычисленное при условии, что СВ Y приняла определенное значение Y=y и обозначается М(Х/Y). Аналогично определяется условное математическое ожидание и для СВ Y.
Используя формулы для вычисления числовых характеристик случайных величин можно вычислить и условные числовые характеристики, заменив безусловные законы распределения на условные.
и (11.13)
Условное математическое ожидание СВ Y при заданном X=x: M[Y/x]=my/x называется регрессией Y на x; аналогично M[X/y]=mx/y называется регрессией X на y. Графики этих зависимостей от x и y называются линиями регрессии или «кривыми регрессии».
Регрессионный анализ позволяет выявить характер связи между величинами. Представим СВ Y в виде линейной функции Х:
,
где a и b - неизвестные величины.
Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид
,
здесь - коэффициент регрессии Y на Х,
а прямую - называют прямой среднеквадратической регрессии Y на Х. Аналогично можно получить прямою среднеквадратической регрессии Х на Y.
Обе прямые проходят через точку (mx, my), которую называют центром совместного распределения величин Х и Y.