Page Title

48Закон распределения функции непрерывной случайной величины.

Пусть Х – непрерывная случайная величина с известной плотностью вероятности. Алгоритм определения закона распределения СВ Y зависит от вида функции Y=j(х).

1. 1. Рассмотрим случай монотонного возрастания функции Y=φ(x) на интервале [a,b) определения случайной величины Х (рис. 9.1).

Определим функцию распределения величины У:

Чтобы выполнилось условие , необходимо и достаточно, чтобы случайная величина Х попала на участок оси абсцисс от а до х=ψ(х), где ψ(х) – функция, обратная функции j(x).

Функция распределения случайной величины Y имеет вид:

Дифференцируя интеграл по переменной у, входящей в верхний предел, получим:

1. 1. Рассмотрим случай, когда y=φ(х) монотонно убывающая функция на интервале [a,b) определения случайной величины Х (рис. 9.2).

Функция распределения случайной величины Y определиться так:

Функция распределения СВ Y=φ(х) для СВ X, распределенной в интервале [a,b], равна:

Плотность вероятностей для любого монотонного случая принимает вид:

(9.5)

1. 1. Рассмотрим случай когда функция y=φ(x) на участке [a,b) возможных значений случайной величины Х не монотонна (рис. 9.3).

Число значений обратной функции ψ(y) зависит от того, какое значение Y выбрано. Событие Y<y равносильно попаданию случайной величины X в один из непересекающихся отрезков, отмеченных жирной линией на рис.9.3, где соответствующая часть кривой y-φ(X) лежит ниже прямой у. Попадания точки Х в эти отрезки – события несовместные; по правилу сложения вероятностей

(9.6)

Плотность вероятностей случайной величины Y равна

(9.7)

где: k – интервалов монотонности функции φ(x);

y_min , y_max– соответственно минимальное и максимальное значение случайной величины Y;

y_mini , y_maxi– соответственно минимальное и максимальное значение случайной величины Y на i-ом интервале монотонности.