1. Основные понятия теории вероятностей.
2. Случайные события и их классификация, операции над событиями.
3. Вероятность события. Классическое определение вероятности.
4. Аксиомы теории вероятностей.
5. Геометрическое определение вероятности.
6. Теоремы сложения вероятностей.
7. Зависимые и независимые события. Условная вероятность события
8. Теоремы умножения вероятностей
9. Формула полной вероятности
10. Формула Байеса.
11. Теорема о повторении опытов. Формула Бернулли.
12. Теорема о повторении опытов. Случай со многими исходами опытов.
13. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
14. Определение и классификация случайных величин.
15. Закон распределения случайной величины.
16. Ряд распределения дискретной случайной величины.
17. Функция распределения и ее свойства.
18. Функция распределения дискретной случайной величины.
19. Смешанная случайная величина.
20. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения случайной величины и ее свойства.
21. Числовые характеристики случайных величин. Обобщенное понятие математического ожидания.
22. Математическое ожидание случайной величины.
23. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
24. Моменты высших порядков.
25. Геометрическое распределение.
26. Смещенное геометрическое распределение.
27. Биномиальное распределение.
28. Распределение Пуассона.
29. Простейший поток событий.
30. Экспоненциальное распределение случайной величины.
31. Нормальное распределение
32. Равномерное распределение случайной величины.
33. Нормальное распределение случайной величины.
34. Системы случайных величин.
35. Системы дискретных случайных величин. Матрица распределения.
36. Функция распределения системы случайных величин.
37. Функция распределения системы дискретных случайных величин.
38. Плотность распределения системы случайных величин.
39. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения системы дискретных случайных величин.
40. Условные законы распределения системы случайных величин.
41. Моменты распределения системы случайных величин.
42. Числовые характеристики систем случайных величин.
43. Ковариация, коэффициент корреляции.
44. Нормальный закон распределения на плоскости.
45. Условные числовые характеристики систем случайных величин.
46. Функции случайных величин. Числовые характеристики функций случайных величин. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.
47. Закон распределения функции дискретной случайной величины.
48. Закон распределения функции непрерывной случайной величины.
49. Закон распределения суммы случайных величин. Композиция законов распределения.
50. Производящие функции.
51. Характеристические функции.

36Функция распределения системы случайных величин.

Функцией распределения (или совместной функцией распределения) системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств X₁<x₁, …, X_n<x_n:

. (10.1)

Для случая двумерной случайной величины:

(10.2)

Геометрически функция распределения F(x,y) это вероятность попадания случайной точки (Х,У) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), лежащей левее и ниже ее (рис. 10.1).

Свойства функции распределения.

1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

.

Доказательство этого свойства вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность есть неотрицательное число, не превышающее 1.

2. Функция распределения F(x,y) есть неубывающая функция по каждому из аргументов т.е

х₁ <х₂ = > F(х₁,у) £ F(х₂, у)

у₁< у₂ = > F (х, у₁) £ F (х,у₂)

Доказательство этого свойства вытекает из того, что при увеличении какого-нибудь из аргументов (x,y) квадрант, заштрихованный на рис. 10.1, увеличивается; следовательно, вероятность попадания в него случайной точки (X,Y) уменьшаться не может.

3. Если хотя бы один из аргументов функции распределения обращается в -∞, то функция распределения равна 0:

(10.3)

Доказательство. По определению

Событие невозможное событие, т.к. невозможным является событие событие; тогда

4. Если оба аргумента функции распределения F(x,y) равны +¥, то функция распределения равны 1.

Доказательство следует из определения функции распределения системы случайных величин:

. (10.4)

5. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения F(x,y) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

. (10.5)

Доказательство. По определению функции распределения:

Событие (Y<+∞) является достоверным событием. Тогда

Точно так же доказывается, что

6. Вероятность попадания в прямоугольную область

P(a£X£b;d£U£g)=F(b,g)-F(b,d)-F(a,g)+F(a,d). (10.6)