1. Основные понятия теории вероятностей.
2. Случайные события и их классификация, операции над событиями.
3. Вероятность события. Классическое определение вероятности.
4. Аксиомы теории вероятностей.
5. Геометрическое определение вероятности.
6. Теоремы сложения вероятностей.
7. Зависимые и независимые события. Условная вероятность события
8. Теоремы умножения вероятностей
9. Формула полной вероятности
10. Формула Байеса.
11. Теорема о повторении опытов. Формула Бернулли.
12. Теорема о повторении опытов. Случай со многими исходами опытов.
13. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
14. Определение и классификация случайных величин.
15. Закон распределения случайной величины.
16. Ряд распределения дискретной случайной величины.
17. Функция распределения и ее свойства.
18. Функция распределения дискретной случайной величины.
19. Смешанная случайная величина.
20. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения случайной величины и ее свойства.
21. Числовые характеристики случайных величин. Обобщенное понятие математического ожидания.
22. Математическое ожидание случайной величины.
23. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
24. Моменты высших порядков.
25. Геометрическое распределение.
26. Смещенное геометрическое распределение.
27. Биномиальное распределение.
28. Распределение Пуассона.
29. Простейший поток событий.
30. Экспоненциальное распределение случайной величины.
31. Нормальное распределение
32. Равномерное распределение случайной величины.
33. Нормальное распределение случайной величины.
34. Системы случайных величин.
35. Системы дискретных случайных величин. Матрица распределения.
36. Функция распределения системы случайных величин.
37. Функция распределения системы дискретных случайных величин.
38. Плотность распределения системы случайных величин.
39. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения системы дискретных случайных величин.
40. Условные законы распределения системы случайных величин.
41. Моменты распределения системы случайных величин.
42. Числовые характеристики систем случайных величин.
43. Ковариация, коэффициент корреляции.
44. Нормальный закон распределения на плоскости.
45. Условные числовые характеристики систем случайных величин.
46. Функции случайных величин. Числовые характеристики функций случайных величин. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.
47. Закон распределения функции дискретной случайной величины.
48. Закон распределения функции непрерывной случайной величины.
49. Закон распределения суммы случайных величин. Композиция законов распределения.
50. Производящие функции.
51. Характеристические функции.

50Производящие функции.

В ряде случаев для определения важнейших числовых характеристик дискретных случайных величин может помочь аппарат производящих функций.

Пусть имеется дискретная случайная величина X, принимающая неотрицательные целочисленные значения 0, 1, …, k, … с вероятностями p0, p1, …, pk, …; pk=P{X=k}.

Производящей функцией случайной величины X называется функция вида:

где z – произвольный параметр(0<z≤1).

Очевидно, что

Возьмем первую производную по z от производящей функции:

и полагаем в ней z=1:

т.е. математическому ожиданию случайной величины X.

Таким образом, математическое ожидание неотрицательной целочисленной случайной величины равно первой производной ее производящей функции φ(z) при z=1.

Возьмем вторую производную функции φ(z):

Полагая в ней z=1, получим

Первая сумма является вторым начальным моментом α2 случайной величины X, а вторая – ее математическое ожидание. Тогда:

,

т.е. второй начальный момент случайной величины равен сумме второй производной от производящей функции при z=1 плюс ее математическое ожидание.

Аналогично, берем третью производную:

и полагая в ней z=1, получаем:

И так далее, что позволяет выразить начальные моменты более высокого порядка.