21Числовые характеристики случайных величин. Обобщенное понятие
математического ожидания.
Законы распределения случайной величины являются исчерпывающими характеристиками. Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, указание которой полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения.
Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями; зачастую достаточно бывает только отдельные числовые параметры, характеризующие отдельные черты распределения; например, среднее значение или разброс случайной величины («степень случайности»). Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины.
Рассмотрим случайную величину Y, зависящую функционально от случайной величины X с известным законом распределения F(x): Y=φ(X).
Если Х – дискретная случайная величина и известен ее ряд распределения имеет вид:
Xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Определяем вероятности появления различных значений случайной величины У
φ(X)i |
φ(x1) |
φ(x2) |
… |
φ(xn) |
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Тогда математическое ожидание случайной величины Y определяется так:
(9.1)
Если случайная величина X непрерывна и имеет плотность распределения f(x), то заменяя в формуле (9.1) вероятности pi элементом вероятности f(x)dx, а сумму – интегралом, получаем:
. (9.2)
Для смешанной случайной величины выражение для математического ожидания преобразуется к виду:
(9.3)
Соотношения (9.1), (9.2) и (9.3) – общее понятие математического ожидания, позволяющее вычислить математическое ожидание для неслучайных функций случайного аргумента.