ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

1. Введение

Эта работа знакомит с различными методами решения линейных и нелинейных краевых задач. Отличие краевой задачи от задачи Коши (задачи с начальными условиями) состоит в том, что решение дифференциального уравнения должно удовлетворять граничным условиям, связывающим значения искомой функции более чем в одной точке.

Простейшим представителем краевой задачи является двухточечная граничная задача, для которой граничные условия задаются в двух точках, как правило, на концах интервала, на котором ищется решение. Двухточечные граничные задачи встречаются во всех областях науки и техники. На примерах таких задач и будет рассмотрено применение методов, обсуждаемых в настоящей работе. В случае задания краевых условий в более общем виде использование этих методов не представит принципиальных затруднений.

 

2. Теоретическая справка

2.1. Пример краевой задачи

Примером двухточечной краевой задачи является задача:

          

                                                                                                          

с граничными условиями на обоих концах отрезка  на котором надо найти решение  На этом примере мы схематически изложим некоторые способы численного решения краевых задач.

Если функция  в (8.1) линейна по аргументам у и  то мы имеем линейную краевую задачу, иначе — нелинейную краевую задачу.

2.2. Линейная краевая задача

Рассмотрим частную, но довольно распространенную краевую задачу следующего вида:

              

                                                                                                          

Для этой задачи проиллюстрируем два способа решения: один основан на идее численного построения общего решения линейного дифференциального уравнения, другой (конечно-разностный) сводит исходную дифференциальную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений, решение которой находится методом прогонки.

2.4. Конечно-разностный метод (метод прогонки)

При нахождении решения линейной краевой задачи:

          

        

для  методом построения общего решения, если оно находится с помощью решения задач Коши, могут возникнуть трудности, связанные с вычислительной неустойчивостью задачи Коши.

Для решения поставленной задачи можно воспользоваться разностной схемой:

                          

и решить разностную задачу методом прогонки. Условия применимости метода прогонки при  как легко проверить, выполнены. Подробнее о методе прогонки см. в [1–4, 17, 31]. В [17] рассмотрены различные варианты метода прогонки.

2.5. Нелинейная краевая задача

 

Краевая задача

          

                                                                                                            ^(8.3)

является нелинейной краевой задачей, если функция  нелинейна хотя бы по одному из аргументов y или

В настоящей работе реализованы два способа решения нелинейных краевых задач: метод стрельбы и метод линеаризации (метод Ньютона), который сводит решение нелинейной краевой задачи к решению серии линейных краевых задач.

 

2.7. Вычислительная неустойчивость задачи Коши

Поясним причину возникновения вычислительной неустойчивости на примере следующей линейной краевой задачи:

            

                                                                                                          ^(8.6)

при постоянном  Выпишем решение этой задачи:

Коэффициенты при  и  с ростом р остаются ограниченными на отрезке  функциями; при всех  они не превосходят единицу. Поэтому небольшие ошибки при задании  и  ведут к столь же небольшим погрешностям в решении, т. е. краевая задача является «хорошей».

Рассмотрим теперь задачу Коши:

             

                                                                                                  ^(8.7)

Ее решение имеет вид:

Если при задании  допущена погрешность e, то значение решения при  получит приращение

                                                            (8.8)

При больших р вычитаемое в равенстве (8.8) пренебрежимо мало, но коэффициент в первом слагаемом  становится большим. Поэтому метод стрельбы при решении задачи (8.6), будучи формально приемлемой процедурой, при больших р становится практически непригодным. Подробнее о возникновении неустойчивостей см. [1, 2].