Содержание

• I. Численные методы решения задач для ОДУ

• 1. Постановка задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и системы дифференциальных уравнений.
• 2. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и системы дифференциальных уравнений:
• • 2.1. Методом ломаных Эйлера;
  • 2.2. Методом Эйлера-Коши;
  • 2.3. Методом Рунге-Кутта.
• 3. Выбор шага численного интегрирования задач Коши.
• • 3.1. Порядок метода, процедура Рунге повышения порядка метода.
• 4. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
• 5. Конечно разностный метод использованием метода прогонки.
• 6. Аппроксимация краевых условий, содержащих производные, со вторым порядком.
• 7. Метод пристрелки численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
• 8. Метод пристрелки с использованием итерационной процедуры Ньютона.

• II. Численные методы оптимизации

• 9. Численные методы безусловной минимизации функции одной переменной.
• • 9.1. Прямые методы
  • 9.2. Метод перебора
  • 9.3. Метод половинного деления
  • 9.4. Метод золотого сечения
• 10. Методы, использующие производные первого и второго порядка
• • 10.1. Метод Ньютона
  • 10.2. Метод ломаных
  • 10.3. Метод касательных
• 11. Численные методы безусловной минимизации функции многих переменных
• • 11.1. Градиентного спуска
  • 11.2. Наискорейшего спуска
  • 11.3. Сопряженных направлений
• 12. Методы условной оптимизации:
• • 12.1. Линейное программирование линейные модели:
  • • 12.1.1. Задачи о диете.
    • 12.1.2. Транспортная задача
  • 12.2. Линейное программирование Различные формы задач линейного программирования и их эквивалентность:
  • • 12.2.1. Стандартная задача линейного программирования
    • 12.2.2. Каноническая задача линейного программирования
    • 12.2.3. Общая задача линейного программирования
    • 12.2.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
  • 12.3. Нелинейное программирование
  • 12.4. Динамическое программирование
  • 12.5. Целочисленное программирование

Метод ломаных Эйлера

Пусть искомое решение задачи Коши. В точке (x₀,y₀) построим касательную (см. рис. 9.1) к графику .

Рис. 9.1

 

Запишем уравнение касательной:

.

и найдем точку пересечения этой касательной с прямой : .

Запишем уравнение прямой

и найдем точку ее пересечения с прямой с :

.

Продолжая процесс, получим рекуррентную последовательность:

(1)

,

которую называют последовательностью Эйлера. Соединяя ломаными все точки , полученные из рекуррентной последовательности Эйлера, получим ломаную линию, приближающую график решения . Функция, график которой совпадает с ломаной Эйлера, принимается за приближенное решение задачи Коши.

Выясним точность метода Эйлера. Сравним значения точного решения y(x) задачи Коши в узловых точках со значениями, полученными методом Эйлера:

,

.

Поскольку

,

то при условии, что . То есть, точность метода на отдельном отрезке совпадает с . Тогда, очевидно, точность метода Эйлера на всем отрезке [a, b] будет O(h).

Для повышения точности вычислений иногда используется модифицированный метод Эйлера, в котором рекуррентная последовательность Эйлера вычисляется по формулам

. (2)

Модифицированный метод Эйлера обычно дает более точное приближение решения.

Пример. Пусть требуется решить задачу Коши:

 

 

Полагая и используя метод Эйлера, получим, как легко убедиться, из формулы Эйлера (1)

.

С другой стороны, используя модифицированный метод Эйлера, получим в силу формулы (2) рекуррентную последовательность

.

 

Поскольку точным решением задачи Коши, как легко проверить, является функция , можно сравнить точность обоих методов.

 

	0	1	2	3	4	5
	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1
	1	0.8	0.64	0.572	0.4086	0.3277
	1	0.82	0.6724	0.5514	0.4521	0.3708
	1	0.8187	0.6703	0.5488	0.4493	0.3679

 

 

Общепризнанным недостатком метода Эйлера является его не достаточно высокая точность. Несомненным достоинством метода Эйлера является его простота.