Содержание

• I. Численные методы решения задач для ОДУ

• 1. Постановка задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и системы дифференциальных уравнений.
• 2. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и системы дифференциальных уравнений:
• • 2.1. Методом ломаных Эйлера;
  • 2.2. Методом Эйлера-Коши;
  • 2.3. Методом Рунге-Кутта.
• 3. Выбор шага численного интегрирования задач Коши.
• • 3.1. Порядок метода, процедура Рунге повышения порядка метода.
• 4. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
• 5. Конечно разностный метод использованием метода прогонки.
• 6. Аппроксимация краевых условий, содержащих производные, со вторым порядком.
• 7. Метод пристрелки численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
• 8. Метод пристрелки с использованием итерационной процедуры Ньютона.

• II. Численные методы оптимизации

• 9. Численные методы безусловной минимизации функции одной переменной.
• • 9.1. Прямые методы
  • 9.2. Метод перебора
  • 9.3. Метод половинного деления
  • 9.4. Метод золотого сечения
• 10. Методы, использующие производные первого и второго порядка
• • 10.1. Метод Ньютона
  • 10.2. Метод ломаных
  • 10.3. Метод касательных
• 11. Численные методы безусловной минимизации функции многих переменных
• • 11.1. Градиентного спуска
  • 11.2. Наискорейшего спуска
  • 11.3. Сопряженных направлений
• 12. Методы условной оптимизации:
• • 12.1. Линейное программирование линейные модели:
  • • 12.1.1. Задачи о диете.
    • 12.1.2. Транспортная задача
  • 12.2. Линейное программирование Различные формы задач линейного программирования и их эквивалентность:
  • • 12.2.1. Стандартная задача линейного программирования
    • 12.2.2. Каноническая задача линейного программирования
    • 12.2.3. Общая задача линейного программирования
    • 12.2.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
  • 12.3. Нелинейное программирование
  • 12.4. Динамическое программирование
  • 12.5. Целочисленное программирование

Методы Рунге-Кутта

 

1. Метод Рунге-Кутта второго порядка (или метод типа «предиктор-корректор»).

Метод состоит из двух этапов. Сначала находят по методу Эйлера грубое решение:

.

На следующем шаге это грубое решение сглаживается:

.

Выясним точность метода. Преобразуя , получаем:

С другой стороны, разложим точное решение y(x) по формуле Тейлора. Получим

Полагая , получаем погрешность на отдельном шаге равную . Тогда на всем отрезке погрешность составит

Достоинство метода: его точность превосходит точность метод Эйлера.

 

2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

На каждом шаге производится вычисление коэффициентов :

;

;

;

.

Затем вычисляем

.

Данный метод имеет точность на [a,b].

 

 

Рассмотрим пример, который мы использовали для иллюстрации точности метода Эйлера.

Пример. Требуется решить задачу Коши:

 

на отрезке [0, 1].

 

Выберем шаг . Результат вычислений поместим в таблицу.

 

	0	1	2	3	4	5
	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1
	1	0.8187	0.6703	0.5487	0.4493	0.3678
	1	0.8187	0.6703	0.5488	0.4493	0.3679

 

Таким образом, метод Рунге-Кутта 4-го порядка отличается очень высокой точностью. К определенным его недостаткам относится большая сложность и трудоемкость (на каждом шаге необходимо четырежды вычислять значения функции f вместо одного раза в методе Эйлера).

Отметим, что на практике выбирают начальную длину шага h таким образом, чтобы , где ε − заданная точность вычисления решения. Затем шаг выбирают вдвое меньшим и останавливают вычисления, если разность полученных значений y_k со значениями, полученными при начальном выборе шага меньше ε. В противном случае шаг еще раз уменьшают вдвое и т.д.