1. Основные понятия теории вероятностей. 2

2. Случайные события и их классификация, операции над событиями. 2

3. Вероятность события. Классическое определение вероятности.3

4. Аксиомы теории вероятностей.4

5. Геометрическое определение вероятности.4

6. Теоремы сложения вероятностей.4

7. Зависимые и независимые события. Условная вероятность события.5

8. Теоремы умножения вероятностей.5

9. Формула полной вероятности. 6

10. Формула Байеса.7

11. Теорема о повторении опытов. Формула Бернулли.7

12. Теорема о повторении опытов. Случай со многими исходами опытов.8

13. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.9

14. Определение и классификация случайных величин. 9

15. Закон распределения случайной величины. 10

16. Ряд распределения дискретной случайной величины. 10

17. Функция распределения и ее свойства.10

18. Функция распределения дискретной случайной величины.11

19. Смешанная случайная величина.12

20. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения случайной величины и ее свойства. 12

21. Числовые характеристики случайных величин. Обобщенное понятие математического ожидания.13

22. Математическое ожидание случайной величины.14

23. Дисперсия случайной величины и ее свойства.15

24. Моменты высших порядков.17

25. Геометрическое распределение.18

26. Смещенное геометрическое распределение. 18

27. Биномиальное распределение.18

28. Распределение Пуассона.19

29. Простейший поток событий.19

30. Экспоненциальное распределение случайной величины.20

31. Нормальное распределение21

32. Равномерное распределение случайной величины.23

33. Нормальное распределение случайной величины.21

34. Системы случайных величин. 24

35. Системы дискретных случайных величин. Матрица распределения.24

36. Функция распределения системы случайных величин.25

37. Функция распределения системы дискретных случайных величин.27

38. Плотность распределения системы случайных величин.27

39. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения системы дискретных случайных величин.28

40. Условные законы распределения системы случайных величин.29

41. Моменты распределения системы случайных величин. 29

42. Числовые характеристики систем случайных величин. 30

43. Ковариация, коэффициент корреляции. 30

44. Нормальный закон распределения на плоскости.32

45. Условные числовые характеристики систем случайных величин.33

46. Функции случайных величин. Числовые характеристики функций случайных величин. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.34

47. Закон распределения функции дискретной случайной величины. 35

48. Закон распределения функции непрерывной случайной величины.36

49. Закон распределения суммы случайных величин. Композиция законов распределения.37

50. Производящие функции.39

51. Характеристические функции.40

1)Основные понятия теории вероятностей.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

К понятию «вероятность» существует несколько подходов.

Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств. Такой подход называется теоретико-множественным.

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: .

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События A_k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

2)Случайные события и их классификация, операции над событиями.

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События A_k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:

.

3)Вероятность события. Классическое определение вероятности.

На основе вышеизложенного сформулированы аксиомы теории вероятностей. Пусть каждому событию ставится в соответствие число, называемое вероятностью события. Вероятность события A обозначается P(A). Так как событие есть множество, то вероятность события есть функция множества. Вероятности событий удовлетворяют следующим аксиомам.

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

(1.1)

2. Если A и B несовместные события, то

(1.2)

Вторая аксиома обобщается на любое число событий: если события А_i и A_j попарно несовместны для всех i≠j

События A₁, A_2, …, A_n называют равновозможными если

P(A₁)=P(A₂)= … =P(A_n). (1.3)

Если в каком-то опыте пространство элементарных событий Ω можно представить в виде полной группы несовместных и равновозможных событий ω₁, ω₂, …, ω_n, то такие события называются случаями, а сам опыт сводится к схеме случаев.

Случай ω_i называется благоприятным событием A, если он является элементом множества A: .

Классическое определение вероятности: вероятность события определяется по формуле

, (1.4)

где n - число элементарных равновозможных исходов данного опыта;

m - число равновозможных исходов, приводящих к появлению события.

4)Аксиомы теории вероятностей.

На основе вышеизложенного сформулированы аксиомы теории вероятностей. Пусть каждому событию ставится в соответствие число, называемое вероятностью события. Вероятность события A обозначается P(A). Так как событие есть множество, то вероятность события есть функция множества. Вероятности событий удовлетворяют следующим аксиомам.

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

(1.1)

2. Если A и B несовместные события, то

(1.2)

Вторая аксиома обобщается на любое число событий: если события А_i и A_j попарно несовместны для всех i≠j

З.ы. она еще следствия аксиом спрашивала

5)Геометрическое определение вероятности.

Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую область случайным образом бросается точка T, причем все точки области W равноправны в отношении попадания точки T. Тогда за вероятность попадания точки T в область A принимается отношение

, (1.5)

где S(A) и S(W) — геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областей A и W соответственно.

6)Теоремы сложения вероятностей.

Несколько событий называются несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления остальных.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

P (AÈB) =P (A) +P (B). (2.1)

Если имеется счетное множество несовместных событий A₁, ... , A_n, то

. (2.2)

Из правила сложения вероятностей вытекает, что если события A₁, A₂, …, A_n несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице; т.е. если

A_iּA_j=О при i≠j, то

(2.3)

В частности, если два события А и противоположны, то они образуют полную группу несовместных событий и

(2.4)

Тогда

(2.5)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

. ошибка-пересечение (2.6)

7)Зависимые и независимые события. Условная вероятность события.

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

В противном случае события являются зависимыми. Условной вероятностью события B при наличии A называется величина

(2.8)

(при этом полагается, что P(A) не равно 0).

Условную вероятность события P(B/A) можно трактовать как вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло.

Заметим, что если имеется несколько событий A₁, A₂, …, A_n, то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий A_i и A_j, i≠j) еще не означает их независимости в совокупности.

8)Теоремы умножения вероятностей.

ошибка-пересечение (2.9)

Вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого (правило умножения вероятностей).

Правило умножения вероятностей может быть обобщено на случай произвольного числа событий

(2.10)

т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

Событие A называется независимым от события B, если его вероятность не зависит от того, произошло событие B или нет, т.е. P(B/A)=P(B).

Для независимых событий правило произведения вероятностей принимает вид:

.(2.11)

Несколько событий A₁, A₂, …, A_n называются независимыми, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:

(2.12)

или

(2.13)

т.е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Заметим, что если имеется несколько событий A₁, A₂, …, A_n, то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий A_i и A_j, i≠j) еще не означает их независимости в совокупности.

9Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности является следствием основных правил теории вероятностей: теорем сложения и умножения вероятностей.

Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез):

{ H₁, H₂, ¼, H_n}, H_i Ç H_j=Æ при i¹j. (3.1)

Каждая гипотеза осуществляется случайным образом и представляет собой некоторые события, вероятности которых известны:

. (3.2)

Рассматривается некоторое событие A, которое может появиться только совместно с одной из гипотез (3.2). Заданы условные вероятности события A при каждой из гипотез:

(3.3)

Требуется найти вероятность события A. Для этого представим событие A как сумму n несовместных событий

A = (AÇH₁)È(AÇH₂) È... È(AÇH_n). (3.4)

По правилу сложения вероятностей .

По правилу умножения вероятностей P(H_iÇA)=P(H_i)×P(A/H_i). Тогда полная вероятность события A:

, (3.5)

т.е. полная вероятность события A вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

Формула (3.5) называется формулой полной вероятности. Она применяется в тех случая, когда опыт со случайным исходом распадается на два этапа: на первом “разыгрываются” условия опыта, а на втором – его результаты.

10Формула Байеса.

Следствием правила умножения, и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса.

По условиям опыта известно, что гипотезы несовместны, образуют полную группу событий:

Ø при и .

Вероятности гипотез до опыта (так называемые «априорные вероятности») известны и равны

;

Предположим, что опыт произведен и в результате появилось событие A. Спрашивается, как нужно пересмотреть вероятность гипотез с учетом этого факта, или, другими словами, какова вероятность того, что наступлению события A предшествовала гипотеза (послеопытные вероятности называются апостериорными):

.

Вероятность наступления события A совместно с гипотезой H_k определяется с использованием теоремы умножения вероятностей:

P(AÇH_k)=P(H_k)×P(A/H_k)=P(A)×P(H_k/A). (3.6)

Таким образом, можно записать:

P (H_k/A) =P (H_k) ×P (A/H_k)/P (A). (3.7)

С использованием формулы полной вероятности

. (3.8)

Формула (3.8) называется формулой Байеса. Она позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что опыт дал результат А

11Теорема о повторении опытов. Формула Бернулли.

ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЫТОВ. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Рассмотрим случай, когда вероятности исходов опытов постоянны и не зависят от номера опыта.

Пусть один тот же опыт проводятся n раз. В каждом опыте некоторые события А₁, А₂, …, А_r появляется с вероятностями р_1, р₂, …, р_п. Будем рассматривать не результат каждого конкретного опыта, а общее число появлений событий А₁, А₂, …, А_r .

Рассмотрим случай с двумя возможными исходами опытов, т.е. в результате каждого опыта событие A появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью q=1-p. Вероятность P(n,k) того, что в последовательности из n опытов интересующее нас событие произойдет ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна (формула Бернулли)

. (4.1)

Следствия из формулы Бернулли.

1. Вероятность того, что событие А наступит менее k раз

(4.2)

2. Вероятность того, что событие наступит более k раз

(4.3)

3. Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли, событие А появится от k1 до k2 раз

. (4.4)

4. Вероятность того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой

(4.5)

Число к₀, которому соответствует максимальная биномиальная вероятность , называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных n и p это число определяется неравенствами: . (4.6)

12Теорема о повторении опытов. Случай со многими исходами опытов.

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Рассмотрим случай, когда вероятности исходов опытов постоянны и не зависят от номера опыта.

Пусть один тот же опыт проводятся n раз. В каждом опыте некоторые события А₁, А₂, …, А_r появляется с вероятностями р_1, р₂, …, р_п. Будем рассматривать не результат каждого конкретного опыта, а общее число появлений событий А₁, А₂, …, А_r .

Пусть производится серия из n независимых опытов, в результате каждого из которых может появиться одно из событий A₁, A₂, ..., A_r с вероятностями p₁, p₂, ..., p_r соответственно.

Вероятность того, что в серии из n опытов событие A₁ наступит ровно k₁ раз, событие A₂ — k₂ раз,..., событие A_r — k_r раз (k₁ + ... + k_r = n) равна

(4.7)

13Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Теоремы Муавра-Лапласа. На практике приближенные формулы Муавра-Лапласа применяются в случае, когда p и q не малы , а npq>9.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р=const (0<р<1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие А появится ровно k раз, приближенно вычисляется формулой:

, (4.8)

где: , -- кривая Гаусса.

Таблицы значений функции даны в приложениях к учебникам по теории вероятностей

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть вероятность появления события А в каждом из n (n→∞) независимых испытаний равна одной и той же постоянной р (0<р<1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее k₁ и не более k₂ раз, приближенно вычисляется формулой:

, (4.9)

где

- функция Лапласа,

,

Значения аргументов функции Лапласа для х Î[0,5] даны в приложениях к учебникам по теории вероятностей (Приложение 2 настоящего методического пособия), для x>5 F(x)=1/2.Функция нечетная - F(x)= F(-x).

14Определение и классификация случайных величин.

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной величины образуют множество Ξ, которое называется множеством возможных значений случайной величины. Обозначения случайной величины: X, Y, Z; возможные значения случайной величины: x, y, z.

В зависимости от вида множества Ξ случайные величины могут быть дискретными и недискретными. СВ Х называется дискретной, если множество ее возможных значений Ξ – счетное или конечное. Если множество возможных значений СВ несчетно, то такая СВ является недискретной.

В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: X=φ(ω), где ω – элементарное событие, принадлежащее пространству Ω. При этом множество Ξ возможных значений СВ Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ(ω).

15Закон распределения случайной величины.

Законом распределения СВ называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной. (То есть, всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и их вероятностями.)

СВ будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое событие. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.

16Ряд распределения дискретной случайной величины.

Наиболее простую форму можно придать закону распределения дискретной случайной величины. Рядом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины X: x₁, x₂, …, x_n, … и вероятности этих значений p₁, p₂, …, p_n, …, где p_i=P{X=x_i} – вероятность того, что в результате опыта СВ Х примет значение x_i (i=1,2,…, n, …).

Ряд распределения записывается в виде таблицы:

Так как события {X=x1}, {X=x2}, … несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке равна единице:

(5.1)

17Функция распределения и ее свойства.

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных) является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x:

F(x)=P{X<x}.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки X (рис. 5.1). Из геометрической интерпретации наглядно можно вывести основные свойства функции распределения.

1. F(-¥ ) = 0. (5.2)

2. F(+¥ ) = 1. (5.3)

3. F(x) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x₁ < x₂

F(x₁) £ F(x₂).

Доказательство этого свойства иллюстрируется рис. 5.2.

Представим событие C={X<x₂} как сумму двух несовместных событий С=A+B, где A={X<x₁} и B={x₁£X<x₂}.

По правилу сложения вероятностей

P(C)=P(A)+P(B),

т.е. P{X<x₂}=P{X<x₁}+P{ x₁£X<x₂}, или

F(x₂)=F(x₁)+P{x₁£X<x₂}.

Но P{x₁£X<x₂}£0, следовательно, F(x₁) £ F(x₂)

4. P(α£ X < β) = F(β) - F(α), для "[α,β[ÎR. (5.4)

Доказательство этого свойства вытекает из предыдущего доказательства.

Вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта попадет на участок от α до β (включая α) равна приращению функции распределения на этом участке.

Таким образом, функция распределения F(x)любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значения которой заключены между 0 и 1: 0≤F(x)≤1, причем F(-∞)=0, F(+∞)=1.

18Функция распределения дискретной случайной величины.

Исходной информацией для построения функции распределения дискретной случайной величины X является ряд распределения этой СВ.

F(x_i)=P{X<x_i}=P{(X=x₁)È(X=x₂)È ... È(X=x_i-1)}= p₁+...+p_i-1.

, то есть суммирование распространяется на все значения , которые меньше х.

Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятности этих значений.

(5.5)

19Смешанная случайная величина.

Случайная величина называется смешанной, если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы (скачки).

На тех участках, где F(x) непрерывна, вероятность каждого отдельного значения случайной величины равна нулю. Вероятность тех значений, где функция распределения совершает скачки, отличны от нуля и равны величине скачка.

20Непрерывная случайная величина. Плотность распределения случайной величины и ее свойства.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю

P{X=α}=0 для любого α.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке:

P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).

Плотность вероятности на этом участке определяется отношением

(5.6)

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

(5.7)

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

(5.8)

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки: Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

21Числовые характеристики случайных величин. Обобщенное понятие

математического ожидания.

Законы распределения случайной величины являются исчерпывающими характеристиками. Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, указание которой полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения.

Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями; зачастую достаточно бывает только отдельные числовые параметры, характеризующие отдельные черты распределения; например, среднее значение или разброс случайной величины («степень случайности»). Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины.

Рассмотрим случайную величину Y, зависящую функционально от случайной величины X с известным законом распределения F(x): Y=φ(X).

Если Х – дискретная случайная величина и известен ее ряд распределения имеет вид:

Определяем вероятности появления различных значений случайной величины У

Тогда математическое ожидание случайной величины Y определяется так:

(9.1)

Если случайная величина X непрерывна и имеет плотность распределения f(x), то заменяя в формуле (9.1) вероятности p_i элементом вероятности f(x)dx, а сумму – интегралом, получаем:

. (9.2)

Для смешанной случайной величины выражение для математического ожидания преобразуется к виду:

(9.3)

Соотношения (9.1), (9.2) и (9.3) – общее понятие математического ожидания, позволяющее вычислить математическое ожидание для неслучайных функций случайного аргумента.

22Математическое ожидание случайной величины.

Математическое ожидание (МО) характеризует среднее взвешенное значение случайной величины.

Для вычисления математического ожидания для ДСВ каждое значение x_i учитывается с «весом», пропорциональным вероятности этого значения.

(6.1)

M[X]-оператор математического ожидания;

m_x -- число, полученное после вычислений по формуле.

Для НСВ заменим отдельные значения непрерывно изменяющимся параметром , соответствующие вероятности - элементом вероятности , а конечную сумму – интегралом: (6.2)

Механическая интерпретация понятия математического ожидания: на оси абсцисс расположены точки с абсциссами , в которых сосредоточены соответственно массы р₁, р₂,...., причем . Тогда МО – абсцисса центра тяжести. Для НСВ – масса распределена непрерывно с плотностью .

Для смешанных случайных величин математическое ожидание состоит из двух слагаемых.

, (6.3)

где сумма распространяется на все значения x_i, имеющие отличные от нуля вероятности, а интеграл – на все участки оси абсцисс, где функция распределения F(x) непрерывна.

Физический смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины, т.е. то значение, которое может быть использовано вместо конкретного значения, принимаемого случайной величиной в приблизительных расчетах или оценках.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с:

M[c] = c. (6.4)

Доказательствово: представим величину с как случайную величину, которая принимает одно и то же значение, с вероятностью р=1:

M[c]=c∙1=c.

2. При умножении СВ Х на неслучайную величину с не ту же самую величину увеличится ее математическое ожидание:

M[c×X] = c×M[X]. (6.5)

Доказательство:

3. При прибавлении к СВ Х неслучайной величины с к ее математическому ожиданию прибавляется такая же величина:

(6.6)

Доказательство: следует из свойств 1 и 3.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M[X+Y] = M[X]+M[Y]. (6.6)

23Дисперсия случайной величины и ее свойства.

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Она характеризует степень разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания, т.е. ширину диапазона значений.

Расчетные формулы:

(6.9)

Дисперсия может быть вычислена через второй начальный момент:

(6.10)

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия СВ (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина.

Дисперсия СВ имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядности характеристики рассеивания пользуются величиной, размерность которой совпадает с размерностью СВ.

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X называется характеристика

. (6.11)

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной величины с равна нулю.

Доказательство: по определению дисперсии

При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется.

D[X+c] = D[X].

Доказательство: по определению дисперсии

(6.12)

3. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с².

Доказательство: по определению дисперсии

. (6.13)

Для среднего квадратичного отклонения это свойство имеет вид:

(6.14)

Действительно, при ½С½>1 величина сХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Х. Следовательно, эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М[сХ] больше, чем возможные значения Х вокруг М[X], т.е. . Если 0<½с½<1, то .

Правило 3s. Для большинства значений случайной величины абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, или, другими словами, практически все значения СВ находятся в интервале:

[ m - 3s; m + 3s; ].(6.15)

24Моменты высших порядков.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.д.). Теми же приемами пользуются и в теории вероятностей. Чаще на практике применяются моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальный момент s-го порядка СВ X есть математическое ожидание s-й степени этой случайной величины: a_s = M[X^s].

(6.7)

Математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:

.

Центрирование случайной величины аналогично переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию случайной величины.

Центральным моментом s-го порядка СВ X есть математическое ожидание s-й степени центрированной случайной величины: m_s = M[(X-m_x) ^s].

(6.8)

Очевидно, что для любой случайной величины Х центральный момент первого порядка равен нулю:

Аналогично можно получить моменты не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки а.

25Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если вероятности ее возможных значений 0,1,….,k,.. определяются так:

где p – параметр распределения, а q=1-p.

На практике геометрическое распределение появляется при следующих условиях. Пусть производится некоторый опыт, в котором некоторое событие появляется с вероятностью p. Опыты производятся последовательно, до наступления события. Случайная величина X, равная числу неудачных опытов, имеет геометрическое распределение.

Числовые характеристики геометрического распределения:

26Смещенное геометрическое распределение.

“Смещенное” геометрическое распределение получается из геометрического путем преобразования СВ X и СВ Y=X+1.

Дискретная случайная величина Y имеет смещенное геометрическое распределение если вероятности ее возможных значений 1,…,k, определяются так

где p – параметр распределения а q=1-p.

Числовые характеристики смещенного геометрического распределения определяются с использованием их свойств:

27Биномиальное распределение.

Дискретная случайная величина X имеет биноминальное распределение, если ее закон распределения описывается формулой Бернулли:

где p – параметр распределения

Распределение загасит от двух параметров п и р.

На практике биноминальное распределение возникает при следующих условиях. Пусть производится серия из п испытании, в каждом из которых некоторое событие появляется с вероятностью р. Случайная величина X, равная числу наступлений события в п опытах, имеет биноминальное распределение.

Числовые характеристики: М [Х] = n, D[X]= npq.

Название объясняется тем, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения Бинома Ньютона:

,

т.е. .

28Распределение Пуассона.

Соотношениями, описывающими биноминальное распределение, удобно пользоваться в тех случаях, если величина и достаточно мала, а р велико.

Теорема: Если, а так, что то

при любом k=0,1,….

Числовые характеристики: М[Х] = α, D[X] = α.

Закон Пуассона зависит от одного параметра α, смысл которого заключается в следующем: он является одновременно и математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х.

29Простейший поток событий.

Физические условия возникновения распределения.

Рассмотрим временную ось, на которой будем отмечать моменты возникновения случайных событий (например, отказы компонентов в сложном техническом устройстве, заявки на обслуживание).

Поток случайных событий называется стационарным, если число событий, приходящихся на интервал t в общем случае не зависит от расположения этого участка на временной оси и определяется только его длительностью, т.е. среднее число событий в единице времени (l) (интенсивность потока) постоянно.

Поток случайных событий называется ординарным, если вероятность попадания в некоторый участок Dt двух и более случайных событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события.

В потоке отсутствует последействие, если вероятность попадания событий на участок t не зависит от того, сколько событий попало на другие участки, не пересекающиеся с данным.

Поток случайных событий называется простейшим, или Пуассоновским, если он является стационарным, ординарным и без последействия.

Для Пуассоновского потока число событий поступивших в течение интервала t является дискретной случайной величиной с распределением Пуассона с параметром α = tl

30Экспоненциальное распределение случайной величины.

Непрерывная случайная величина Х, принимающая только положительные значения имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если

, (8.8)

Положительная величина l называется параметром показательного распределения и полностью определяет его.

Определим функцию распределения случайной величины.

1. при t<0

,

2. при t≥0

.

Таким образом, функция распределения имеет вид:

(8.9)

Числовые характеристики случайной величины.

.

Проводя интегрирование по частям и учитывая, что при x→∞ e^-x стремиться к нулю быстрее, чем возрастает любая степень x , находим:

(8.10)

Дисперсия случайной величины определяем по формуле:

(8.11)

Показательное распределение тесно связано с простейшим (стационарным пуассоновским) потоком событий. Интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока.

31Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

(8.12)

Определим числовые характеристики нормально распределенной случайной величины Х. Математическое ожидание:

Применяя замену переменной

(8.13)

получим

В полученном выражении первый интеграл равен нулю (интеграл в симметричных пределах от нечетной функции), а второй интеграл есть интеграл Эйлера-Пуассона:

(8.14)

Таким образом, математическое ожидание величины Х равно m:

M[X]=m.

Вычислим дисперсию СВ Х:

Применяя замену переменной (8.13) получим:

Интегрируя по частям, получим:

Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (т.к. при t→∞ убывает быстрее, чем возрастает любая степень t), второе слагаемое, согласно (8.14), равно , откуда

.

Таким образом, нормальное распределение случайной величины полностью описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием M[X] и средним квадратичным отклонением σ.

Рассмотрим влияние параметров m и σ на кривую распределения. При изменении параметра m кривая f(x), не изменяя формы, будет смещаться вдоль оси абсцисс. Изменение σ равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям; например, при удвоении σ масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат уменьшится в два раза (рис. 8.3).

Центральные моменты нечетной степени для нормально распределенной случайной величины определяются равны нуню; для вычисления центральных моментов четной степени используется рекуррентное соотношение следующего вида:

(8.15)

Определим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал от α до β:

Сделав замену переменной t=(x-m)/σ, получим:

Так как первообразная для e^-x не выражается через элементарные функции, то для вычисления вероятностей событий, связанных с нормальными случайными величинами используют табулированную функцию Лапласа:

.

С помощью этой функции вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал от α до β определится так:

(8.16)

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Φ(0)=0;

2. Φ(-х)=-Φ(х);

3. Φ(-∞)=0,5.

Функция распределения нормально распределенной случайной величины через функцию Лапласа выражается так:

(8.16)

Нормально распределенная случайная величина возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (или слабо зависимых) случайных величин Х₁, Х₂, …, X_n. Тогда, каковы бы не были законы распределения отдельных случайных величин X_i, закон распределения их суммы будет близок к нормальному распределению. В частности, ошибки измерений распределяются по закону, близкому к нормальному.

32Равномерное распределение случайной величины.

Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена в интервале [а; в], если ее плотность вероятности в этом интервале постоянна, т.е. если все значения в этом интервале равновероятны:

(8.1)

Значение постоянной с определяется из условия нормировки:

. (8.2)

Функция распределения:

, (8.3)

Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины определяются так:

(8.4)

(8.5)

Среднее квадратичное отклонение равномерного распределения равно

(8.6)

Равномерное распределение случайной величины полностью определяется двумя параметрами: a и b – интервалом, на котором определена случайная величина.

При необходимости можно определить параметры a и b равномерного распределения по известным значениям математического ожидания m_X и дисперсии D_X случайной величины. Для этого составляется система уравнений следующего вида:

, (8.7)

из которой определяются искомые параметры.

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал [α,β) определяется так:

, где

33Нормальное распределение случайной величины.

П.31

34Системы случайных величин.

Системоой случайнвх величин (случайным вектором, многомерной случайной величиной) называется любая упорядоченная совокупность случайных величин Х ={X₁, …, X_n}.

_{Случайные величины{X1, …, Xn}, входящие в систему могут быть как непрерывными, так и дискретными. Для наглядности рассмотрения пользуются геометрической интерпретацией; так систему двух случайных величин {X,Y} можно представить случайной точкой на плоскости с координатами X и Y, или случайным вектором, направленным из начала координат в точку (X,Y).}

Свойства случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, входящих в систему и необходимы средства для описания характеристик систем случайных величин.

35Системы дискретных случайных величин. Матрица распределения.

Двухмерная случайная величина (Х,У) является дискретной, если множества значений ее компонент X={x₁, …, x_n} и Y={y₁, …, y_m} представляют собой счетные множества.

Для описания вероятностных характеристик таких величин используется двухмерная функция распределения и матрица вероятности, которая содержит значения компоненты X ={x₁,x₂,.. x_n}, Y={y₁,y₂, … y_m} и вероятности всех возможных пар значений

p_ij = P(X =x_i , Y = y_j ) ,i=1..n , j=1..m.

Матрица распределения системы двух случайных величин записывается в виде:

Сумма всех вероятностей p_ij, стоящих в матрице распределения вероятностей равна единице как сумма вероятностей полной группы событий:

. (10.7)

Зная матрицу распределения системы двух дискретных случайных величин (X,Y), можно найти закон распределения отдельных случайных величин, входящих в систему:

Представим событие (X=x_i) как сумму несовместных событий:

,

По правилу сложения вероятностей

, (10.8)

аналогично

. (10.9)

36Функция распределения системы случайных величин.

Функцией распределения (или совместной функцией распределения) системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств X₁<x₁, …, X_n<x_n:

. (10.1)

Для случая двумерной случайной величины:

(10.2)

Геометрически функция распределения F(x,y) это вероятность попадания случайной точки (Х,У) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), лежащей левее и ниже ее (рис. 10.1).

Свойства функции распределения.

1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

.

Доказательство этого свойства вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность есть неотрицательное число, не превышающее 1.

2. Функция распределения F(x,y) есть неубывающая функция по каждому из аргументов т.е

х₁ <х₂ = > F(х₁,у) £ F(х₂, у)

у₁< у₂ = > F (х, у₁) £ F (х,у₂)

Доказательство этого свойства вытекает из того, что при увеличении какого-нибудь из аргументов (x,y) квадрант, заштрихованный на рис. 10.1, увеличивается; следовательно, вероятность попадания в него случайной точки (X,Y) уменьшаться не может.

3. Если хотя бы один из аргументов функции распределения обращается в -∞, то функция распределения равна 0:

(10.3)

Доказательство. По определению

Событие невозможное событие, т.к. невозможным является событие событие; тогда

4. Если оба аргумента функции распределения F(x,y) равны +¥, то функция распределения равны 1.

Доказательство следует из определения функции распределения системы случайных величин:

. (10.4)

5. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения F(x,y) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

. (10.5)

Доказательство. По определению функции распределения:

Событие (Y<+∞) является достоверным событием. Тогда

Точно так же доказывается, что

6. Вероятность попадания в прямоугольную область

P(a£X£b;d£U£g)=F(b,g)-F(b,d)-F(a,g)+F(a,d). (10.6)

37Функция распределения системы дискретных случайных величин.

Если известна матрица распределения системы двух случайных величин (X,Y), то ее функция распределения находится суммированием всех вероятностей p_ij, для которых x_i<x, y_j<y :

(10.10)

Тут можно добавить про матрицу распределения (пункт 35)

38Плотность распределения системы случайных величин.

Двумерная величина (X,Y) является непрерывной, если ее функция распределения F(х,у) представляет собой непрерывную, дифференцируемою функцию по каждому из аргументов и существует вторая смешанная производная .

Рассмотрим на плоскости x0y прямоугольник ΔR_xy, примыкающий к точке (x,y), с размерами Δx, Δy и найдем вероятность попадания в него случайной точки (X,Y). Согласно (10.6)

.

Будем неограниченно уменьшать оба размера прямоугольника Δx→∞, Δy→∞ и вычисляем предел:

Совместной плотностью вероятности или плотностью совместного распределения называется функция

(10.11)

Плотность f(x,y) обладает следующими свойствами:

1. f(x,y)≥0;

2. 

Геометрически совместная плотность f(x,y) системы двух случайных величин представляет собой некоторую поверхность распределения.

Аналогично вводится понятие элемента вероятности:.

Элемент вероятности с точностью до бесконечно малых величин равен вероятности попадания случайной точки (X,Y) в элементарный прямоугольник ΔR_xy, примыкающий к точке (x,y), с размерами Δx, Δy.

Аналогично тому, как было рассмотрено в случае одномерной случайной величины, определим вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D:

(10.12)

Функция распределения системы (X,Y) через совместную плотность определяется так:

. (10.13)

Совместная плотность распределения системы случайных величин (X,Y) позволяет вычислить одномерные законы распределения случайных величин X и Y :

; . (10.14)

Одномерные плотности распределения составляющих системы случайных величин называют маргинальными плотностями распределения.

39 Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы

распределения системы дискретных случайных величин.

_{Величина Х не зависит от величины Y, если ее закон распределения не зависит от того, какое значение приняла величины Y.}

Для независимых величин выполняется следующие соотношения:

1. F(x,y)=p(X<x,Y<y)=p(X<x)p(Y<y)=F_X(x)F_Y(y);

2. для непрерывных случайных величин f(x, y) = f₁(x)f₂(y);

3. для дискретных случайных величин p_ij = p_i p_j , для " i, j.

Для независимых величин двумерные формы закона распределения не содержат никакой дополнительной информации кроме той, которая содержится в двух одномерных законах.

В случае зависимости величин Х и Y, переход от двух одномерных законов к совместному осуществить невозможно. Для этого необходимо знать условные законы распределения.

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные ряды вероятностей для дискретных составляющих Х и Y определяются по формулам

p_i/j = P(X = x_i/Y = y_j) = p_ij/P(Y = y_j)=

, i = 1, ..., N; (10.15)

p_j/i = P(Y = y_j/X = x_i) = p_ij/P(X = x_i)=

=, j = 1, ..., M. (10.16)

Условное распределение может быть представлено в виде таблицы:

Заметим, что

40 Условные законы распределения системы случайных величин.

_{Предыд. пункт+}

Условные плотности для непрерывных составляющих X и Y определяются так

f(x/y) = f(x, y)/f_у(y), f_у (y)¹ 0; f(y/x) = f(x, y)/f_х(x), f_х (x)¹ 0. (10.17)

;

.

Условные плотности обладают всеми свойствами обычных плотностей:

1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна

2. Условие нормировки

41Моменты распределения системы случайных величин.

Смешанным начальным моментом порядка k+s называется математическое ожидание произведения X^k и Y^s:

. (11.1)

Смешанным центральным моментом порядка k+s называется математическое ожидание произведения центрированных величин и :

, (11.2)

где - центрированные случайные величины.

Расчетные формулы:

(11.3)

(11.4)

где p_ij - элементы матрицы вероятностей дискретной величины (X, Y);

f(x, y)-совместная плотность вероятности непрерывной величины (X, Y).

Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты:

a_0,0(x, y) = m_0,0(_{x, y}) = 1;

42 Числовые характеристики систем случайных величин.

Предыд. пункт+

Первые начальные моменты представляют собой уже известные нам математические ожидания величин Х и У, входящих в систему:

a_1,0(x, y) = m_x; a_0,1(x, y) = m_y. (11.5)

Совокупность математических ожиданий представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание случайных точек (Х,У).

m_1,0(x, y) = М[Х-m_x]=0 m_0,1(x, y)= М[Y-m_y)=0; (11.6)

a_2,0(x, y) = a₂(x) a_0,2(x, y) = a₂(y)

На практике широко используются вторые центральные моменты системы. Два из них представляют собой дисперсии, которые характеризуют рассеивание случайной точки в направлении осей 0Х и 0Y:

m_2,0(x, y) = М[Х-m_x)²=D[X]=D_x; m_0,2(x, y) = М[Y-m_y)² ]=D[Y]=D_y; (11.7)

43Ковариация, коэффициент корреляции.

Особую роль играет центральный момент порядка 1+1 или второй смешанный центральный момент, который называется ковариацией или корреляционным моментом

m_1,1(x, y) = K_{xy= (11.8)}

Ковариация представляет собой математическое ожидание произведения центрированных случайных величин X и Y и характеризует степень линейной статистической зависимости величин X и Y и рассеивание относительно точки (m_x, m_y):

K_xy =, (11.9)

Или

(11.10)

Расчетные формулы для определения ковариации:

(11.11)

Свойства корреляции:

1. K_xy=K_yx. Это свойство очевидно.

2. Корреляционный момент двух независимых случайных величин Х и У равен нулю.

Доказательство: т.к. случайные величины Х и Y – независимы, то и их совместная плотность распределения представляется произведением плотностей распределения случайных величин f_x(x) и f_y(y). Тогда:

3. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин не превышает среднего геометрического их дисперсий

или

Доказательство: Введем в рассмотрение случайные величины и вычислим их дисперсии

Т. к. дисперсия всегда неотрицательна, то

Þ

и

Þ.

Отсюда Þ .

Если , случайные величины Х и Y называются коррелированными. Если , то необязательно, что Х и Y независимы. В этом случае они называются некоррелированными. Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает их коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Величина ковариации зависит единиц измерения каждой из случайных величин, входящих в систему и от того, насколько каждая из случайных величин отклоняется от своего математического ожидания (одна – мало, вторая – сильно, все равно будет мал).

Поэтому для характеристики связи между Х и Y в чистом виде переходят к безразмерной характеристике, которая называется Коэффициент корреляции r_xy характеризует степень линейной зависимости величин:

(11.12)

Свойства коэффициента корреляции:

1. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух случайных величин не превышает единицы:

2. │r_xy│=1 если Y=aХ+b

Доказательство:

Подставим в выражение

т.к.

Найдем дисперсию Y: , т.е.

, коэффициент корреляции: Þ

Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между Х и Y: чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к 1, тем связь сильнее, чем ближе к 0, тем слабее.

3. Если величины X и Y независимы, то r_xy = 0.

44Нормальный закон распределения на плоскости.

Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) имеет нормальное распределение, если ее совместная плотность вероятности имеет вид

m_x – математическое ожидание случайной величины X.

m_y – математическое ожидание случайной величины Y.

σ_x – средне квадратичное отклонение СВ X.

σ_y – средне квадратичное отклонение СВY.

r_xy -- коэффициент корреляции.

Условные законы распределения СВ X и Y также являются нормальными:

; (12.2)

.

Условные числовые характеристики имеют вид:

(12.3)

Для системы нормально распределенных случайных величин линии регрессии m[x/y] и m[y/x] представляют собой прямые линии, т.е. регрессия линейна.

Для двумерной нормально распределенной с.в. – если составляющие некоррелированы, то они и независимы, т.е. Þ

(12.4)

Итак, для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Можно показать, что двумерная случайная величина (Х,У) распределена нормально, то Х и У связаны линейной кррреляционной зависимостью.

45Условные числовые характеристики систем случайных величин.

Пусть (Х, У) – 2-мерная СВ с известным законом распределения F(X,Y) или f(x,y). Условным математическим ожиданием компоненты Х называется математическое ожидание СВ Х, вычисленное при условии, что СВ Y приняла определенное значение Y=y и обозначается М(Х/Y). Аналогично определяется условное математическое ожидание и для СВ Y.

Используя формулы для вычисления числовых характеристик случайных величин можно вычислить и условные числовые характеристики, заменив безусловные законы распределения на условные.

и (11.13)

Условное математическое ожидание СВ Y при заданном X=x: M[Y/x]=m_y/x называется регрессией Y на x; аналогично M[X/y]=m_x/y называется регрессией X на y. Графики этих зависимостей от x и y называются линиями регрессии или «кривыми регрессии».

Регрессионный анализ позволяет выявить характер связи между величинами. Представим СВ Y в виде линейной функции Х:

,

где a и b - неизвестные величины.

Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид

,

здесь - коэффициент регрессии Y на Х,

а прямую - называют прямой среднеквадратической регрессии Y на Х. Аналогично можно получить прямою среднеквадратической регрессии Х на Y.

Обе прямые проходят через точку (m_x, m_y), которую называют центром совместного распределения величин Х и Y.

46Функции случайных величин. Числовые характеристики функций случайных величин. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.

Пусть некоторая случайная величина Х подвергается детерминированному преобразованию j, в результате которого получается величина У. Рассмотрим задачу определения числовых характеристик и закона распределения получаемой в результате преобразования случайной величины У.

Числовые характеристики функции случайного аргумента.

Рассмотрим случайную величину Y, зависящую функционально от случайной величины X с известным законом распределения F(x): Y=φ(X).

Если Х – дискретная случайная величина и известен ее ряд распределения имеет вид:

Определяем вероятности появления различных значений случайной величины У

Тогда математическое ожидание случайной величины Y определяется так:

(9.1)

Если случайная величина X непрерывна и имеет плотность распределения f(x), то заменяя в формуле (9.1) вероятности p_i элементом вероятности f(x)dx, а сумму – интегралом, получаем:

. (9.2)

Для смешанной случайной величины выражение для математического ожидания преобразуется к виду:

(9.3)

Соотношения (9.1), (9.2) и (9.3) – общее понятие математического ожидания, позволяющее вычислить математическое ожидание для неслучайных функций случайного аргумента. Например, дисперсия случайной величины Y=φ(x) определяется так:

Величину M[φ(x)] рассчитываем в соответствии с (9.1)-(9.3). Для определения математического ожидания квадрата φ(х) воспользуемся следующими соотношениями:

. (9.4)

Таким образом, для нахождения числовых характеристик функции Y=φ(x) достаточно знать закон распределения ее аргумента.

47Закон распределения функции дискретной случайной величины.

Для дискретной случайной величины Y=φ(х) определяем вероятности появления различных значений случайной величины:

Преобразуем полученную таблицу в ряд распределения случайной величины Y. Для этого расположим значения Y в порядке возрастания, а для определения вероятностей p{Y=y_i} будем руководствоваться следующими правилами:

• если различным возможным значениям аргумента Х соответствуют различные возможные значения Y, то P{Y=φ(x_i)}=p_i;

• если различным возможным значениям случайной величины Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений СВ Y.

Полученный таким образом ряд является рядом распределения случайной величины Y.

48Закон распределения функции непрерывной случайной величины.

Пусть Х – непрерывная случайная величина с известной плотностью вероятности. Алгоритм определения закона распределения СВ Y зависит от вида функции Y=j(х).

4. 1. 1. Рассмотрим случай монотонного возрастания функции Y=φ(x) на интервале [a,b) определения случайной величины Х (рис. 9.1).

Определим функцию распределения величины У:

Чтобы выполнилось условие , необходимо и достаточно, чтобы случайная величина Х попала на участок оси абсцисс от а до х=ψ(х), где ψ(х) – функция, обратная функции j(x).

Функция распределения случайной величины Y имеет вид:

Дифференцируя интеграл по переменной у, входящей в верхний предел, получим:

.

4. 1. 2. Рассмотрим случай, когда y=φ(х) монотонно убывающая функция на интервале [a,b) определения случайной величины Х (рис. 9.2).

Функция распределения случайной величины Y определиться так:

Функция распределения СВ Y=φ(х) для СВ X, распределенной в интервале [a,b], равна:

Плотность вероятностей для любого монотонного случая принимает вид:

(9.5)

4. 1. 3. Рассмотрим случай когда функция y=φ(x) на участке [a,b) возможных значений случайной величины Х не монотонна (рис. 9.3).

Число значений обратной функции ψ(y) зависит от того, какое значение Y выбрано. Событие Y<y равносильно попаданию случайной величины X в один из непересекающихся отрезков, отмеченных жирной линией на рис.9.3, где соответствующая часть кривой y-φ(X) лежит ниже прямой у. Попадания точки Х в эти отрезки – события несовместные; по правилу сложения вероятностей

(9.6)

Плотность вероятностей случайной величины Y равна

(9.7)

где: k – интервалов монотонности функции φ(x);

y_min , y_max – соответственно минимальное и максимальное значение случайной величины Y;

y_mini , y_maxi – соответственно минимальное и максимальное значение случайной величины Y на i-ом интервале монотонности.

49Закон распределения суммы случайных величин. Композиция законов распределения.

Одна из важнейших для практики частной задачи, а именно – нахождение закона распределения суммы двух случайных величин.

Пусть имеется система СВ (X,Y) с плотностью распределения f(x,y). Рассмотрим сумму СВ X и Y Z=X+Y и найдем закон распределения случайной величины Z. Для этого построим линию на плоскости ХОУ линию Z=X+Y. Она делит плоскость на две части Z>X+Y и Z<X+Y. Согласно определению функции распределения:

Дифференцируем это выражение по переменной Z, входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получим

(13.1)

Это – общая формула для определения плотности распределения суммы двух случайных величин. Т.к. задача симметрична, то :

. (13.2)

Особое практическое значение имеет случай, когда складываемые СВ (X,Y) независимы. Тогда говорят о композиции законов распределения.

Для независимых случайных величин X и Y

f(x, y) = f_х(x)f_у(y) Þ (12.5) и (12.6) Þ Þ

и .

Для обозначения композиции законов применяют символическую запись:.

Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся только параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости.

КОМПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ

Рассмотрим две независимые с.в. Х и У, подчиненные нормальным законам:

и

Требуется найти композицию этих законов, т.е. найти закон распределения величины Z=X+Y.

Применяем общую формулу для композиции законов распределения:

. (13.3)

Раскрываем скобки в показателе степени подынтегральной функции и приводим подобные члены, получаем

, (13.4)

где

Используя интеграл Эйлера-Пуассона: , получаем

Подставляем значения А, В, С в эту формулу и после преобразований, получаем:

- это и есть нормальный закон с центром рассеивания и средне квадратическим отклонением

Итак, при композиции нормальных законов получается нормальный закон, причем МО и дисперсии(или квадраты с.к.о.) суммируются.

50Производящие функции.

В ряде случаев для определения важнейших числовых характеристик дискретных случайных величин может помочь аппарат производящих функций.

Пусть имеется дискретная случайная величина X, принимающая неотрицательные целочисленные значения 0, 1, …, k, … с вероятностями p0, p1, …, pk, …; pk=P{X=k}.

Производящей функцией случайной величины X называется функция вида:

где z – произвольный параметр(0<z≤1).

Очевидно, что

Возьмем первую производную по z от производящей функции:

и полагаем в ней z=1:

т.е. математическому ожиданию случайной величины X.

Таким образом, математическое ожидание неотрицательной целочисленной случайной величины равно первой производной ее производящей функции φ(z) при z=1.

Возьмем вторую производную функции φ(z):

Полагая в ней z=1, получим

Первая сумма является вторым начальным моментом α2 случайной величины X, а вторая – ее математическое ожидание. Тогда:

,

т.е. второй начальный момент случайной величины равен сумме второй производной от производящей функции при z=1 плюс ее математическое ожидание.

Аналогично, берем третью производную:

и полагая в ней z=1, получаем:

И так далее, что позволяет выразить начальные моменты более высокого порядка.

51Характеристические функции.

До сих пор мы задавали случайные величины законом распределения. Характеристическая функция - ещё один способ представления случайных величин.

Пусть X - случайная величина. Её характеристической функцией w(t) назовём математическое ожидание случайной величины e^itX:

w(t)=Me^itX,

где под комплексной случайной величиной e^itX мы понимаем комплексное число e^{it X}=cos(tX)+isin(tX), а

;

независимая переменная t имеет размерность X^-1.

Характеристическая функция - преобразование Фурье-Стилтьеса функции распределения:

.

В непрерывном случае w(t) - преобразование Фурье плотности вероятности:

Если w(t) абсолютно интегрируема, то обратное преобразование Фурье позволяет восстановить плотность f(x) по характеристической функции:

.

В дискретном случае:

.

Особо отметим дискретные случайные величины с целочисленными значениями, например, при x_k=k:

здесь w(t) - ряд Фурье в комплексной форме, вероятности p_k играют роль коэффициентов Фурье и легко восстанавливаются по w(t):

.

В общем случае восстановление закона распределения по характеристической функции тоже возможно, но более сложно.

Свойства характеристических функций

Важнейшим свойством характеристической функции, сделавшим её одним из главных инструментов современной теории вероятностей, оказалось то, что при суммировании независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются: если X и Y независимы, то для случайной величины Z=X+Y: w_Z(t)=w_X(t)×w_Y(t).

Действительно,

w_Z(t)=M(e^itZ)=M(e^it(X+Y))=M(e^itX×e^itY)=M(e^itX)×M(e^itY)=w_X(t)×w_Y(t).

Законы распределения при суммировании независимых слагаемых ведут себя гораздо сложнее (см. Л12, закон распределения суммы случайных величин).

Если Y=aX+b, то

w_Y(t)=M(e^it(aX+b))=e^itb×M(e^itaX)=e^itb×w_X(at).

Другим важным свойством характеристических функций является их простая связь с моментами.

Предполагая возможность дифференцирования под знаком математического ожидания в равенстве w(t)=Me^itX, получим:

w^(k)(t)=i^kM(X^k×e^itX).

При t=0:

Таким образом, характеристическая функция позволяет заменить интегрирование при вычислении моментов дифференцированием.

В частности,

Характеристическую функцию определяют также и для n-мерной случайной величины (X₁, X₂, , ¼ , X_n):

w(t₁, t₂, , ¼ , t_n)=M(expi(t₁X₁+t₂X₂+¼+t_nX_n)).