Методы Рунге-Кутта

1. Метод Рунге-Кутта второго порядка (или метод типа «предиктор-корректор»).

Метод состоит из двух этапов. Сначала находят по методу Эйлера грубое решение:

.

На следующем шаге это грубое решение сглаживается:

.

Выясним точность метода. Преобразуя , получаем:

С другой стороны, разложим точное решение y(x) по формуле Тейлора. Получим

Полагая , получаем погрешность на отдельном шаге равную . Тогда на всем отрезке погрешность составит

Достоинство метода: его точность превосходит точность метод Эйлера.

2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

На каждом шаге производится вычисление коэффициентов :

;

;

;

.

Затем вычисляем

.

Данный метод имеет точность на [a,b].

Рассмотрим пример, который мы использовали для иллюстрации точности метода Эйлера.

Пример. Требуется решить задачу Коши:

на отрезке [0, 1].

Выберем шаг . Результат вычислений поместим в таблицу.

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
| 0 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1
| 1 | 0.8187 | 0.6703 | 0.5487 | 0.4493 | 0.3678
| 1 | 0.8187 | 0.6703 | 0.5488 | 0.4493 | 0.3679

Таким образом, метод Рунге-Кутта 4-го порядка отличается очень высокой точностью. К определенным его недостаткам относится большая сложность и трудоемкость (на каждом шаге необходимо четырежды вычислять значения функции f вместо одного раза в методе Эйлера).

Отметим, что на практике выбирают начальную длину шага h таким образом, чтобы , где ε − заданная точность вычисления решения. Затем шаг выбирают вдвое меньшим и останавливают вычисления, если разность полученных значений y k со значениями, полученными при начальном выборе шага меньше ε. В противном случае шаг еще раз уменьшают вдвое и т.д.