Метод ломаных Эйлера

Пусть искомое решение задачи Коши. В точке (x 0,y 0) построим касательную (см. рис. 9.1) к графику .

Рис. 9.1

Запишем уравнение касательной:

.

и найдем точку пересечения этой касательной с прямой : .

Запишем уравнение прямой

и найдем точку ее пересечения с прямой с :

.

Продолжая процесс, получим рекуррентную последовательность:

(1)

,

которую называют последовательностью Эйлера. Соединяя ломаными все точки , полученные из рекуррентной последовательности Эйлера, получим ломаную линию, приближающую график решения . Функция, график которой совпадает с ломаной Эйлера, принимается за приближенное решение задачи Коши.

Выясним точность метода Эйлера. Сравним значения точного решения y(x) задачи Коши в узловых точках со значениями, полученными методом Эйлера:

,

.

Поскольку

,

то при условии, что . То есть, точность метода на отдельном отрезке совпадает с . Тогда, очевидно, точность метода Эйлера на всем отрезке [a, b] будет O(h).

Для повышения точности вычислений иногда используется модифицированный метод Эйлера, в котором рекуррентная последовательность Эйлера вычисляется по формулам

. (2)

Модифицированный метод Эйлера обычно дает более точное приближение решения.

Пример. Пусть требуется решить задачу Коши:

Полагая и используя метод Эйлера, получим, как легко убедиться, из формулы Эйлера (1)

.

С другой стороны, используя модифицированный метод Эйлера, получим в силу формулы (2) рекуррентную последовательность

.

Поскольку точным решением задачи Коши, как легко проверить, является функция , можно сравнить точность обоих методов.

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
| 0 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1
| 1 | 0.8 | 0.64 | 0.572 | 0.4086 | 0.3277
| 1 | 0.82 | 0.6724 | 0.5514 | 0.4521 | 0.3708
| 1 | 0.8187 | 0.6703 | 0.5488 | 0.4493 | 0.3679

Общепризнанным недостатком метода Эйлера является его не достаточно высокая точность. Несомненным достоинством метода Эйлера является его простота.