Краевая задача

(8.3)

является нелинейной краевой задачей, если функция нелинейна хотя бы по одному из аргументов y или

В настоящей работе реализованы два способа решения нелинейных краевых задач: метод стрельбы и метод линеаризации (метод Ньютона), который сводит решение нелинейной краевой задачи к решению серии линейных краевых задач.

###

###

### Метод стрельбы

Метод стрельбы для решения краевой задачи (8.3) базируется на том, что имеются удобные способы численного решения задачи Коши, т. е. задачи следующего вида

(8.4)

где — ордината точки из которой выходит интегральная кривая; a — угол наклона интегральной кривой к оси x при выходе из точки (рис. 8). При фиксированном решение задачи (8.4) имеет вид При решение зависит только от a:

Используя указанное замечание о решении задачи Коши (8.4), можно задачу (8.3) переформулировать следующим образом: найти такой угол при котором интегральная кривая, выходящая из точки под углом a к оси абсцисс, попадет в точку

(8.5)

Решение задачи (8.4) при этом совпадает с искомым решением задачи (8.3). Таким образом, дело сводится к решению уравнения (8.5) (рис. 9). Уравнение (8.5) — это уравнение вида

где

Оно отличается от привычных уравнений лишь тем, что функция задана не аналитическим выражением, а с помощью алгоритма численного решения задачи (8.4).

Для решения уравнения (8.5) можно использовать любой метод, пригодный для уточнения корней нелинейного уравнения, например, метод деления отрезка пополам, метод Ньютона (касательных) и др. Метод Ньютона здесь предпочтительнее (если имеется достаточно хорошее начальное приближение) из-за высокой стоимости вычисления одного значения функции F(a) (нужно решить задачу Коши (8.4) с данным a).

Метод стрельбы, сводящий решение краевой задачи (8.3) к вычислению решений задачи Коши (8.4), хорошо работает в том случае, если решение «не слишком сильно» зависит от a. В противном случае он становится вычислительно неустойчивым, даже если решение задачи (8.3) зависит от входных данных «умеренно».

При решении уравнений методом деления отрезка пополам, мы задаем и так, чтобы разности и имели разные знаки. Затем полагаем

Вычисляем Затем вычисляем по одной из формул:

или

в зависимости от того, имеют ли разности и соответственно разные или одинаковые знаки. Затем вычисляем Процесс продолжаем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность

В случае использования для решения уравнения метода Ньютона задаем а затем последующие вычисляем по рекуррентной формуле

n = 0, 1, …

Производная может быть вычислена по одной из формул численного дифференцирования, например, первого порядка аппроксимации: