ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

## 1. Введение

Эта работа знакомит с различными методами решения линейных и нелинейных краевых задач. Отличие краевой задачи от задачи Коши (задачи с начальными условиями) состоит в том, что решение дифференциального уравнения должно удовлетворять граничным условиям, связывающим значения искомой функции более чем в одной точке.

Простейшим представителем краевой задачи является двухточечная граничная задача, для которой граничные условия задаются в двух точках, как правило, на концах интервала, на котором ищется решение. Двухточечные граничные задачи встречаются во всех областях науки и техники. На примерах таких задач и будет рассмотрено применение методов, обсуждаемых в настоящей работе. В случае задания краевых условий в более общем виде использование этих методов не представит принципиальных затруднений.

## 2. Теоретическая справка

### 2.1. Пример краевой задачи

Примером двухточечной краевой задачи является задача:

с граничными условиями на обоих концах отрезка на котором надо найти решение На этом примере мы схематически изложим некоторые способы численного решения краевых задач.

Если функция в (8.1) линейна по аргументам у и то мы имеем линейную краевую задачу, иначе — нелинейную краевую задачу.

### 2.2. Линейная краевая задача

Рассмотрим частную, но довольно распространенную краевую задачу следующего вида:

Для этой задачи проиллюстрируем два способа решения: один основан на идее численного построения общего решения линейного дифференциального уравнения, другой (конечно-разностный) сводит исходную дифференциальную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений, решение которой находится методом прогонки.

### 2.4. Конечно-разностный метод (метод прогонки)

При нахождении решения линейной краевой задачи:

для методом построения общего решения, если оно находится с помощью решения задач Коши, могут возникнуть трудности, связанные с вычислительной неустойчивостью задачи Коши.

Для решения поставленной задачи можно воспользоваться разностной схемой:

и решить разностную задачу методом прогонки. Условия применимости метода прогонки при как легко проверить, выполнены. Подробнее о методе прогонки см. в [1–4, 17, 31]. В [17] рассмотрены различные варианты метода прогонки.

### 2.5. Нелинейная краевая задача

Краевая задача

(8.3)

является нелинейной краевой задачей, если функция нелинейна хотя бы по одному из аргументов y или

В настоящей работе реализованы два способа решения нелинейных краевых задач: метод стрельбы и метод линеаризации (метод Ньютона), который сводит решение нелинейной краевой задачи к решению серии линейных краевых задач.

###

### 2.7. Вычислительная неустойчивость задачи Коши

Поясним причину возникновения вычислительной неустойчивости на примере следующей линейной краевой задачи:

(8.6)

при постоянном Выпишем решение этой задачи:

Коэффициенты при и с ростом р остаются ограниченными на отрезке функциями; при всех они не превосходят единицу. Поэтому небольшие ошибки при задании и ведут к столь же небольшим погрешностям в решении, т. е. краевая задача является «хорошей».

Рассмотрим теперь задачу Коши:

(8.7)

Ее решение имеет вид:

Если при задании допущена погрешность e, то значение решения при получит приращение

(8.8)

При больших р вычитаемое в равенстве (8.8) пренебрежимо мало, но коэффициент в первом слагаемом становится большим. Поэтому метод стрельбы при решении задачи (8.6), будучи формально приемлемой процедурой, при больших р становится практически непригодным. Подробнее о возникновении неустойчивостей см. [1, 2].