46Функции случайных величин. Числовые характеристики функций случайных величин. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.
Пусть некоторая случайная величина Х подвергается детерминированному преобразованию j, в результате которого получается величина У. Рассмотрим задачу определения числовых характеристик и закона распределения получаемой в результате преобразования случайной величины У.
Числовые характеристики функции случайного аргумента.
Рассмотрим случайную величину Y, зависящую функционально от случайной величины X с известным законом распределения F(x): Y=φ(X).
Если Х – дискретная случайная величина и известен ее ряд распределения имеет вид:
Xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Определяем вероятности появления различных значений случайной величины У
φ(X)i |
φ(x1) |
φ(x2) |
… |
φ(xn) |
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Тогда математическое ожидание случайной величины Y определяется так:
(9.1)
Если случайная величина X непрерывна и имеет плотность распределения f(x), то заменяя в формуле (9.1) вероятности pi элементом вероятности f(x)dx, а сумму – интегралом, получаем:
. (9.2)
Для смешанной случайной величины выражение для математического ожидания преобразуется к виду:
(9.3)
Соотношения (9.1), (9.2) и (9.3) – общее понятие математического ожидания, позволяющее вычислить математическое ожидание для неслучайных функций случайного аргумента. Например, дисперсия случайной величины Y=φ(x) определяется так:
Величину M[φ(x)] рассчитываем в соответствии с (9.1)-(9.3). Для определения математического ожидания квадрата φ(х) воспользуемся следующими соотношениями:
. (9.4)
Таким образом, для нахождения числовых характеристик функции Y=φ(x) достаточно знать закон распределения ее аргумента.